沪教课标版《拓展多项式除以多项式——长除法》优质课教案下载

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将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3 ÷ x = x2).

将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2 · (x ? 3) = x3 ? 3x2).

从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。((x3 ? 12x2) ? (x3 ? 3x2) = ?12x2 + 3x2 = ?9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。

重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项

重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (?123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

除法变换

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1] 得到的。

应用:多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的余式——也即，除以 x2-2rx+r2——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。