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探究一 点动型问题

例1 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B，连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

(1)填空：点A的坐标为________，抛物线所对应的函数解析式为__________________；

(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

图1

【例题分层探究】

(1)抛物线所对应的函数解析式有哪几种形式？

(2)△PCQ为直角三角形有哪几种情况？当△PCQ为直角三角形时，它与△COE在形状上有什么关系？

(3)△ACQ可以分割为哪两个三角形？求线段FQ的长的关键是什么？

(1)抛物线所对应的函数解析式主要有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．

(2)当∠CPQ＝90°或∠CQP＝90°时，△PCQ为直角三角形．当△PCQ为直角三角形时，与△COE相似．

(3)△ACQ可以分割为△AFQ和△CFQ.求线段FQ的长的关键是求出点F与点Q的坐标．

【解题方法点析】

关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图．解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量．

解：(1)点A(1，4)，

抛物线所对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4或y＝－x2＋2x＋3.

(2)依题意，得OC＝3，OE＝4，

∴CE＝＝＝5.

当∠QPC＝90°时，

∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；

当∠PQC＝90°时，

∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝.

∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形．

(3)∵A(1，4)，C(3，0)，