八年级上册《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》优质课教案设计

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了解命题“在一个直角三角形中，在斜边上画任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和.”

解决希波克拉里数学图形。

2、本节课的重点与难点：

重点：本节课的重点内容是同学学生自主探究了解“在一个直角三角形中，在斜边上画

任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和.”

难点：证明直角三角形两直角边构成的等边三角形面积和等于斜边构成的等边三角形面积过程较为复杂，是本节课的难点。

3、说教学设计

1.创设情境，回顾定理

受台影响，一棵树在离地面2米处断裂，树的顶部落在离树跟底部5米处，这棵树折断前有多高？

设计意图：通过数折断问题引起学生思考，将实际问题转化成几何问题，通过解直角三角形，求出原树的高度。这必须用到直角三角形的勾股定理。通过三边关系a(^2)+b(^2)=c(^2)引导学生向面积关系靠拢。

2.名人故事，启发思考

相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发呆.原来，朋友家的地砖是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的.他发现了地砖上的三个正方形存在某种数量关系。

设计意图：探寻真理的实质是要有一双会发现的眼睛。引用毕达哥拉斯的故事是为了启示学生，任何伟大的发现都源于生活中的琐碎，同时用这个故事告诉学生，或许我们也可以通过实践观察也能总结出一个不被发现的定理。也为下面的探究活动做一个铺垫，让学生更了解定理的产生过程，更有兴趣去探索勾股定理中还没有被发现的命题。

3.实际运用，验证猜想

这个环节分成两个部分，第一部分如右图，在方格中，可以看出直角三角形两直角边所成的正方形面积可以与斜边的面积相等。通过观察很容易就会看出。这个时候，教师提问学生是如何发现的？请同学说一说

设计意图：学生一定会运用两种回答方式，第一种是根据刚刚毕达哥拉斯的发现得知，斜边的正方形是四个全等的等腰直角三角形，而两个直角边的正方形可以看成两个等腰直角三角形。所以得出两直角边组成的正方形面积与斜边组成的正方形面积相等。第二种学生回答会是通过勾股定理，得出两直角边边长都是1，斜边长为根号2，这样各个正方形面积可以由他们的平方得到。如果学生是以第二种回答出现，教师及时扭正，不运用勾股定理可不可以得出以上的结论。

第二个环节

将特殊的等腰直角三角形变成一个普通的直角三角形，这个时候直角边与斜边的正方形发生了变化，那是上述的结论是否成立？

设计意图：由上一个环节可以很轻易的得出两个小正方形的面积和等于斜边正方形的面积。将直角三角形变成右图之后，虽然可以直观的看出两个黑色的正方形面积和等于10，但黄色的正方形面积并没有很容易得出。这个时候启发学生，如何利用方格计算出黄色正方形的面积。学生应该会有两种方案。

方案一，如左图这种通过补全正方形然后减去四个全等的红色三角形面积的方法得出黄色面积为10，这种方法叫做邹元治证明方法。

方案二，如右图这种通过分割正方形变成四个全等的直角三角形和中间小黄色 的正方形的方法叫做赵爽证明方法。这个图形也成为了2002年国际数学家大会的会徽。通过计算黄色正方形的面积调动学生的积极性，每一种证明勾股定理的方案都有其来历，证明勾股定理的热情在数学界可见一斑。

4.提出问题，分组探究

问题1：当直角三角形三边是其他图形时是否仍然满足S[1]+S[2]=S[3]

设计意图：通过上面的环节，已经更加熟悉勾股定理，那么学生已经知道直角三角形两直角边所成的正方形面积和等于斜边所成的正方形面积。那么教师紧接着提出下面的问题，换成其他图形是否也满足这样的数量关系，并暗示学生发现了什么关系可能又是一个伟大定理的诞生。以此调动学生的积极性，分组专研开动学生的脑筋，起到学位中心的作用。本环节可能出现以下情形。

情形一：当直角三角形三边外构成等腰直角三角形的时候。