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《18.2勾股定理的逆定理》集体备课教案优质课下载
一、情境导入
据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；
(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；
(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.
解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证．
解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；
(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；
(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．
方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理求角的度数
解析：根据已知条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题．
解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，则△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.
方法总结：解答本题的关键是构建全等三角形．把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度．
【类型三】 利用勾股定理的逆定理解决面积问题