八年级上册（2013年6月第1版）《13.4课题学习最短路径问题》优质课教案下载

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教学难点：

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．

教学过程

一、创设情景，明确目标

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

二、自主学习，指向目标

自学教材第85 页至87 页，思考下列问题：

1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．

2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．

三、合作探究，达成目标

eq ﹨a﹨vs4﹨al(探究点一) 　探索最短路径问题

活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

展示点评：作法：