八年级上册（2013年6月第1版）《13.4课题学习最短路径问题》精品优质课教案设计

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利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学过程：

一、引入新课

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:

“白日登山望烽火，

黄昏饮马傍交河。”

这两句诗中隐含了一个非常有趣的数学问题—— “将军饮（yìn）马问题”．

二、探究新知

(一)两点在一条直线两侧

1、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到小溪l 饮水一次。问将军在l 何处饮马可以使得所走路程最短？

SHAPE ﹨ MERGEFORMAT 师生合作：利用已经所学过的知识，可以很容易解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于点P，则点P即为所求点，根据“两点之间，线段最短”。

(二)一次轴对称 两点在一条直线同侧

2、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到河边饮水一次。问：这位在l 何处饮马可以使得所走路程最短？

SHAPE ﹨ MERGEFORMAT

教师让学生发现两点在直线的同侧。

现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找一个点，使得这个点到A，B的距离之和最短？

教师引导：我们已经会了两点在直线两侧的最短路径问题，现在两个点在直线的同侧，如何才能把你不会的转化成你会的呢？

学生：将点B移到直线l的另一侧就可以了

教师：怎么移呢？随便找一个点可以吗？

学生：不可以。【思考】做点B关于直线l的对称点B’。

教师：这样，我们就将点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“两点在两侧”的情况，从而使新问题得到解决．师生共同补充得出：

作出点B关于l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求．

教师：那做点关于直线l的对称点可以找到点P吗？找到的是同一个点吗？

学生在练习本上作图，教师批阅，一名学生板演。

3、证明“最短”