人教2011课标版《数学活动》精品优质课教案设计

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教学过程：

问题 如图1，在△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，BC=8．P，Q，R三点

分别在AC，AB，BC边上运动，则△PQR周长的最小值为 ．

探究：之前没遇到过三个动点的问题，能否用已学过的方法来解决这个新

问题呢？让我们来进行一次探索尝试．

一．温故

（1）回顾方法：如图2，已知A，B两点位于直线l的同侧，在直线l上求作

点P，使AP+BP的值最小．

请写出作法：作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，与l的交点即为所求 ．

此作法用到了一个重要的几何结论，这个结论是：两点之间，线段最短．

（2）回顾问题：发挥我们的联想，回忆我们曾经解决过的问题，其中有些

问题是两个动点的问题，与“三个动点”较为接近，让我们在“两个动点”

的基础上进一步思考，看能否找到解决“三个动点”的方法．

回顾问题①：如图3，点P为等边三角形ABC内部一点，PB=4． M，N

分别为AB，BC边上的动点，则△PMN周长的最小值为 ．

请写出作法：分别作点P关于直线AB，BC的对称点P1，P2，

连接P1P2，与AB，BC的交点即为所求的M，N位置 ．

解决此问题用到的一个重要几何依据是：两点之间，线段最短 ．

回顾问题②：如图4，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交CD于点E，

若P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．

解决此问题除了用到“两点之间，线段最短”外，还用到了一个重要的几何依据，

这个依据是：垂线段最短 ．

二．探索

（1）在回顾问题①中，当△PMN周长取得最小值时，在作出的△BP1P2中，BP1= BP =BP2，△BP1P2为等腰三角形．顶角P1BP2的大小与∠ABC的大小有何数量关系？请写出该数量关系：∠P1BP2=2∠ABC ．

△PMN周长的最小值等于等腰△BP1P2的底边的长 （填“腰长”或“底边的长”）．想一想：当点P位于其他位置（如图3中的Q或R ）时，以上结论是否还成立？等腰△BP1P2的形状改变了吗？