人教2011课标版《习题训练》优质课教案设计

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【情感态度】

进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.

【教学重点】

理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.

【教学难点】

综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.

思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）

2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.

3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=- EMBED Equation.DSMT4 ,x1·x2= EMBED Equation.DSMT4 .（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.

4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.

【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.

三、典例精析，复习新知

例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为 .

分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.

例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+ EMBED Equation.DSMT4 的值.

解：根据方程根的定义有a2-2014a+1=0,从而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原式=a-1+ EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 =2013.

在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.

例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.

解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m2=8m+4≥0，∴m≥-1/2,故m的最小整数值为0.

例4已知关于x的方程x2-2x-a=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）若此方程的两个实数根为x1,x2，则 EMBED Equation.DSMT4 的值能等于 EMBED Equation.DSMT4 吗？如果可以，请求出a的值；如果不能，请说明理由.