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类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行

例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:

（1）抛物线解析式；

（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；

（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。

变式训练1.如图所示，已知抛物线 与 轴相交于两点A ， B ，与 轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、 B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6。

求点A和B的坐标；

求此抛物线的解析式；

（3）求四边形ACPB的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）

关于 的知识点：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： EMBED Equation.3 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？

例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 EMBED Equation.3 ；(3)是否存在一点P，使S△PAB= EMBED Equation.3 S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解题思路：求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标 ；

铅垂高 ，注意线段的长度非负性；分析P点在直线AB的上方还是下方?

变式训练2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

变式训练3.如图，抛物线 与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为 。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键；

②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为 .为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A、B的坐标，是求水平宽的关键.

③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.

【自主练习】

1．已知如图，矩形OABC的长OA= EMBED Equation.DSMT4 ，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；