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LISTNUM OutlineDefault ﹨l 3 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30°,点D为弧AB的中点,AC=4 .求CD的长．

【解答】解：作AE⊥CD于E，连接BD，

∵点D为弧AB的中点，∴∠ACD=45°， ∴AE=CE=AC× =2 ，

由圆周角定理得，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，∴∠ADC=60°，

∴DE= = ，∴CD=DE+CE= +2 ．

2．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1， = ，求⊙O的半径．

【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．

【分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；

（2）根据（1）中的结论，再根据锐角三角函数和三角形相似的知识即可求出圆的半径长．

【解答】（1）证明：连接OE，

∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE= BF，又∵OE= BD，∴BF=BD；

（2）解：设OA=3x，则AB=5x，BO=2x，∴BD=4x，

∵CF=1，BD=BF，∴BC=4x﹣1，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴ ，

∵ = ，∴ ，即 ，解得，x=1.5，∴2x=3，即⊙O的半径是3．

3． 如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB=90°∴∠A+∠DBA=90°∵ eq﹨o(﹨s﹨up5(⌒),﹨s﹨do2(BD)) 弧BD=弧BD eq﹨o(﹨s﹨up5(⌒),﹨s﹨do2(BD)) ⌒AB ∴∠A=∠E ∵∠CBD=∠E，