九年级下册（2014年8月第1版）《数学活动》集体备课教案设计

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（一）【导入新课】

相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。

（二）【探究活动】

【探究1】构造格点三角形

请在图1中画一个直角三角形ABC， 满足条件：

以线段AC为斜边；

顶点B落在线段MT的格点上。

师问：怎样画出这样一个直角三角形？

生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。

师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？

生答：利用格点图，易知AC=5，AB= , BC=2 ,在利用勾股定理的逆定理，可以知道

AB2+BC2=AC2, 所以ΔABC必定为直角三角形。

师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.

师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。请问ΔAMB与ΔBTC相似吗?

生答:相似。因为夹角为直角，两边对应成比例。

【探究2】构造三垂直模型

师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？

生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M =∠T = 90°,因此这两个三角形相似。

师说：很好。我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。这种有三个直角，其顶点都在同一直线上的，构成这种相似三角形，我们俗称三垂直模型。

结论1： 在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。

例题1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，∠BEF=90°，AB=6，AE=9，DE=2，求线段EF的长度。

设计意图：利用三垂直模型，易于得到左右两个三角形相似，根据对应边成比例，求出相关线段。再利用勾股定理得出EF的长度。

【探究3】构造折叠

例题2：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF的长。

师问：折叠前后两个三角形有什么性质？