华东师大2011课标版《复习题》新课标优质课教案设计

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在求解或证明正方形有关的几何题时，有时用一般常规的方法，比较困难，若变换视角，将正方形中某一三角形绕着一个正方形中的某个点旋转90°，可以将分散的条件汇聚起来，交错的条件分散出来，或转化成新的条件，这种变换叫旋转变换，用这些变换可以解决一些问题，接下来的计算与证明和原先没啥两样，只不过赋予了旋转的背景而已.如果学生能够破译旋转背后的“密码”，那么以旋转为背景的几何问题就迎刃而解了.

四、教学过程设计

（一）典例引入

通过课本上一道简单的习题作为切入点，引入新课，

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形，求证：BG=EC

（二）精讲例题：

由于学生对课本上的这道习题非常熟悉，也是常见的旋转类型题，所以对于这个题目学生很快就可以处理完。即使是学困生也能跟得上节奏。

例1：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形EFGO的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形EFGO绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，想一想，这是为什么？

功能分析：通过例1的题目，中等生不仅了解题目的题设，而且会提出一些简单的问题（猜想），学优生则不仅能够提出一些问题（猜想），甚至可以有自己的方法来证明自己的猜想.故在本课堂中的学情是极其丰富的，关键在于教师如何把握与引导，通过生生和师生之间的互动反馈，让各层次的学生通过复习都能够获得不同的进步，品尝成功的快乐.本题的设计是一个正方形绕着另一个正方形的对角线的端点旋转，是涉及旋转相关知识的一个基础问题，学生曾经或多或少经历过类似的问题，情景比较熟悉，前3题都是比较基础的问题，学生比较容易上手，也有利于学生快速进入旋转情景中.（1）、（2）主要引导学生观察、猜想旋转过程中形成的哪些线段相等，哪些角相等（双正方形自身的边、角相等则是显而易见的，也是非常重要的条件），并能寻求证明的方法与途径（全等，等腰三角形知识）；（3）建立在（1）的基础上主要考查学生旋转过程中形成的线段存在平行关系，并能力求通过等腰三角形的性质或相似的判定来证明；（4）是一个比较综合的问题，建立在（1）的基础上，考查学生转化为解直角三角形及其面积的问题.

变式练习：

在例题的基础上，学生已经掌握了此类题目的做法要领，所以接着老师给出一个类似的变式题目，学生很容易就可以得到结论。

在等腰△BAC中，∠BAC=90°,OP是∠BAC的角平分线交于点p，点P又是另一个等腰直角三角形DPE的一个顶点，若两个三角形的直角边相等，那么三角形DPE在绕点P无论怎样旋转，只要△DPE的直角边与△ABC的直角边有交点，那么两个三角形重叠部分的面积总等于什么，想一想为什么？

功能分析：

本题是例1基础上的延伸与拓展，两题不管是正方形还是等腰直角三角形，共同的特征是旋转中心都在对方的某条线的中点上，不同之处在于此题设计的是一个等腰直角三角形绕着另一个等腰直角三角形的斜边中点旋转，也是涉及旋转相关知识的一个常见问题，学生对此旋转情景也是比较熟悉的.这种具有相似背景的例题设计避免了学生在复习时思维跨度过大，有利于学生的思维聚焦在旋转核心知识（即旋转特征）的复习巩固上.同时由于学生已经有了例题1的基础，

巩固提升：

如图，∠ABC=90°，∠ABC的平分线上一点P，且满足∠EPF=90°，则线段PE与PF的关系如何？?

功能分析：

此题其实是例1、例2的变式拓展题，学生的解法应该有很多种。此题对于大多数学生来说应该不成问题.

变式提高：

中间还有一个变式题，我是想让学生把弦图的知识也想融进来，想通过本节课的学习和学生已经掌握的弦图有一个更深的联系，以后在做习题的时候能够去把知识转化和类比，这也是初中学生对于转化和类比思想的重要体现。

自我提升：

最后还有一个自我提升，是我对我们班学生的一个数学综合素养的培养，让学生把正方形的知识融进平面直角坐标系的知识里面去。更深层次挖掘知识之间的联系。为之后初三的学习打下坚实的基础。

五、设计思路和意图

本节课是八年级数学下册学习完特殊的平行四边形之后的复习课，我把它设计成一个小专题的课型，是想让学生对正方形有一个更深层次的认识，同时有意识的去向中考靠拢，有意识的去设计了一些探究题和变式题，目的是想通过此次的训练让学生先感受一下中考，同时让学生接触一下中考题中的类比探究题，再个是把正方形和等腰直角三角形紧密的联系起来，让学生的新旧知识有一个更大的联系，学生心目中就有了一个系统的学习数学的方法。虽要以基础为主，但也要兼顾综合，体现“基础+综合”的复习思路，这样才能满足各个层次学生的学习需求.本节课选自图形变换一章的复习，针对不同学习层次的学生展开教学过程的设计，体现“起点低（注重基础，下要保底），步子紧（小步子式逐步提高要求），落点高（上不封顶）”的设计要求，利用几何画板的动画功能演绎旋转过程中的变与不变.这其中围绕某一核心知识背景（本节课是旋转）来设计“套题（题组）”式训练是一条行之有效的途径.