华东师大2011课标版《26.1二次函数》集体备课教案设计

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3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题． 重点：对二次函数概念的理解． 难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．

教学过程：

一、情景创设 1．什么叫函数？它有几种表示方法？ 2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有 k≠0 的条件？ k 值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、 函数、 常量 等概念，加深对函数定义的理解．强调 k≠0 的条件，以备与二次函数中的 a 进行比较．)

二、实践与探索 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函 数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系． 例 1 正方形的边长是 x，面积 y 与边长 x 之间的函数关系如何表示？ 解：函数关系式是 y=x2(x＞0)(写在黑板上) 例 2 农机厂第一个月水泵的产量为 50(台)第三个月的产量 y(台)与月平均增长率 x 之间的 函数关系如何表示？ 解：函数关系式是 y=50(1＋x)2，即 y=50x2+100x+50(写在黑板上) 由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有 共同的特征)．(2)自变量的最高次数是 2(这与一次函数不同)．

三、讲解新课 二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c 为常数)的函数叫做二次函数． 巩固对二次函数概念的理解： 1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即 y 是关于 x 的二次多项式． 2．在 y=ax2＋bx＋c 中自变量是 x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自 变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例 1 中，x＞0． 3．在 y=50x2＋100x＋50 中， a=50， b=100， c=50． 4．为什么二次函数定义中要求 a≠0？(若 a=0，ax2＋bx+c 就不是关于 x 的二次多项式了) 5．b 和 c 是否可以为零？由例 1 可知，b 和 c 均可为零． 若 b=0，则 y=ax2＋c；若 c=0，则 y=ax2＋bx；若 b=c=0，y=ax2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而 y=ax2+bx+c 是二次函数的一般形式．

四、巩固新课 例 1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出 a、b、c． (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)； (3)y=3x(2-x)＋3x2； (4)y＝(x＋2)(2-x)； (5)y=x4＋2x2＋1．(可指出 y 是关于 x2 的二次函数) 例 2．m 取哪些值时，函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量的二次函数？ 2 分析 若函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是二次函数，须满足的条件是： m ? m ? 0 ． 2 2 当 m ? 0 ，且 m ? 1 时，函数 y ? (m ? m) x ? mx ? (m ? 1) 是二次函数． 回顾与反思 形如 y ? ax2 ? bx ? c 的函数只有在 a ? 0 的条件下才是二次函数． 探索 若函数 y ? (m 2 ? m) x 2 ? mx ? (m ? 1) 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？ 2 延伸：已知函数 y ? (m ? 3) x m ?7 是二次函数，求 m 的值． 例 3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； 例 4． 篱笆墙长 30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积 y(m2)与长 x 之间的函数关 系式，并指出自变量的取值范围． 例 5． 已知二次函数 y=ax2＋bx＋c，当 x=0 时，y=0；x=1 时，y=2；x=-1 时，y=1．求 a、 b、c，并写出函数解析式．

五、布置作业 1．在长 20cm，宽 15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为 xcm 的正方形，写出 余下木板的面积 y(cm2)与正方形边长 x(cm)之间的函数关系， 并注明自变量的取值范围． 2 2．已知二次函数 y=4x ＋5x＋1，求当 y=0 时的 x 的值． 3．已知二次函数 y=x2-kx-15，当 x=5 时，y=0，求 k． 2 4．已知二次函数 y=ax ＋bx＋c 中，当 x=0 时，y=2；当 x=1 时，y=1；当 x=2 时，y=-4， 试求 a、b、c 的值 5. 当 k 为何值时，函数 y ? (k ? 1) x k 2 ?k ? 1为二次函数？ 第 2 课 二次函数的图象与性质（1）——二次函数 y=ax 的图象 教学目标： 1．使学生会用描点法画二次函数 y=ax2 的图象． 2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识． 3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育． 重点：会用描点法画二次函数 y=ax2 的图象，掌握它的性质． 难点：渗透数形结合思想． 教学过程： 一 、情境导入 我们已经知道，一次函数 y ? 2 x ? 1 ，反比例函数 y ? 2 3 的图象分别是 x 、 ， 那么二次函数 y ? x 2 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 y ? x 2 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？ 当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数 y ? x 2 的图象，你能得出什么结论？ 二、新课 例 1． 在同一直角坐标系中， 画出下列函数的图象， 并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） y ? 2 x 2 （2） y ? ?2x 2 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点： y ? 2 x 2 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点， 在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边， 曲线自左向右上升． y ? ?2x 2 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点， 在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边， 曲线自左向右下降．

回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形 的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到 大或从大到小的顺序连接． 例 3．已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2． （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题， 解这类问题时要注意自变量的取值范围； 画图象时， 自变量 C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得 S ? 1 2 C (C ? 0) ． 16 列表：描点、连线，图象如图 26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm． （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 补充例题 1．已知点 M(k，2)在抛物线 y=x2 上， (1)求 k 的值． (2)点 N(k， 4)在抛物线 y=x2 上吗？ (3)点 H(-k， 2)在抛物线 y=x2 上吗？ 2 2．已知点 A(3，a)在抛物线 y=x 上， (1)求 a 的值． (2)点 B(3，-a)在抛物线 y=x2 上吗？ 三、小结 1．抛物线 y=ax2(a≠0)的对称轴是 y 轴，顶点是原点． 2．a＞0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上． 3．a＜0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下．

四、作业： 1、已知函数 y ? (m ? 3) x m 2 ?7 是二次函数，求 m 的值． 2、已知二次函数 y ? ax2 ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值． 3、已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式．若圆柱 的底面半径 x 为 3，求此时的 y． 4、用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围． 五、教学注意问题 1．注意渗透分类讨论思想．比如在 y=ax2 中 a＞0 时，y=ax2 的图象开口向上；当 a＜ 0 时，y=ax2 的图象开口向下，等等． 2．注意训练学生对比联想的思维方法．