《回顾与思考》优质课教案下载

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教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

教学设计：

新课导入：

前面我们已经研究过了一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题。本节课我们将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

新课探究：

活动一： 将实际问题抽象为数学问题

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称性质的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？

（1）这是一个实际问题，你打算首先做什么？

师生活动：学生回答，将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

（2）你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成一致：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的点有无穷多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最短得直线上的点。设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。

活动二：尝试解决数学问题

如图：点A、B在直线l的同侧，点C是直线了上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充。

如果学生解决问题有困难，可作如下提示：

（1）如果点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A、与点B的距离和最短？

（2）对于问题中，如何将点B“移”到l的另一侧B’处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB’的长度相等吗？

（3）你能利用抽对称的有关知识，找到符合条件的点B’吗？

对于问题（1），学生利用已经学习过的知识，很容易解决这个问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求。对于（2）（3）问题，学生独立思考，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充。得出：只要作出点B关于l的对称点B’，就可以满足CB’=CB。再利用（1）的方法，连接AB’,则AB’与直线l的交点即为所求。

学生叙述，教师画图，学生在联系本上联系画图。

做法：（1）作点B关于直线l的对称点B’；