《回顾与思考》优质课教案下载

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与轴对称有关的最短路径问题

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；

（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

三、重难疑点·轻松破

最短路径问题

在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题

例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．

（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．

解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点，

∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′，

∴AB′=AP+PB．

（2）如图：连接AN，BN，B′N，

∵AB′=AP+PB，

∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，

∴AN+NB＞AP+PB．

点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．

变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．

（2）“两点两线（平行）”问题

例2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？