《角平分线》精品优质课教案设计

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一、情境导入

问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？

问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的性质定理

【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵ eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(BD＝DF，,DC＝DE，)) ∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；

(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵ eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(CD＝DE，,AD＝AD，))

∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用

A．6 B．5 C．4 D．3

解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝ eq ﹨f(1,2) ×4×2＋ eq ﹨f(1,2) ×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题