北师大2011课标版《猜想、证明与拓广》集体备课教案设计

一、教学目标

1. 让学生经历探索与证明数学结论的过程，增强问题意识和自主探索的意识，感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性和不同数学知识领域之间的联系;形成对数学的整体性认识。

2. 通过对一个开放性，研究性问题的探索，获得探索和发现的体验，运用归纳，综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，发展学生的推理探索能力。

3. 通过反思自己以及同伴解决问题是过程，使学生提出问题的能力得到发展，在独立思考并与同学合作交流中扩展思路，获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心。

二、学情分析

学生在经历了两年半的初中学习后，积累了一定的证明的经验，思想和方法，具备了几何证明及探究的能力。在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。在学习了一次函数和反比例函数后，能理解应用函数的思想，数形结合的思想解决实际问题。

三、教学重难点

重点：

经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.

难点：

从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程，方程组，函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。

四、教学方法

自主学习法，分组讨论法、讲授法、

五、教学过程

1，问题提出并解决：

问题1. 任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?

探究方案：

(1)利用相似知识，相似比是1：2时，面积比是1：4.

(2)设给定的正方形边长为a,则其面积是a². 若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2≠2a2; 若面积倍增,即面积变为2a²,则其边长应为 a ≠2a.

结论：不存在这样的正方形，它的面积和周长分别是已知正方形的面积和周长的2倍。

(正方形问题的解决为后面矩形问题的解决提供了思想方法。)

问题2. 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?

探究方案：

(1) 是否可利用相似知识?

(引导学生辨明为什么正方形可以用相似的知识解决而矩形不可以。)

(2) 用绳子演示，让学生直观感觉是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?

(让学生体会先有直观感受，再有猜想，再进入合情推理，寻找解决方案。)

(3) 用特殊值证明。如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2. 所求矩形的周长和面积应分别为12和4. 我们从周长是12出发,看面积是否是4?或从面积是4出发,看周长是否是12?利用方程模型求解。

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.

(引导学生思考：①特殊值成立后要上升到一般值的证明。②特殊值若不成立，一般值是否也不成立，或什么条件成立什么条件不成立。在列方程中，有些学生列的是一元二次方程，有些学生列的是二元方程组。二元方程组刚好与后面利用函数解决此问题相对应。)

(4) 上升到一般性的证明。如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn. 可从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 或从面积是2mn出发,看周长是否是4(m+n).同样利用方程模型求解。

结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.

(含有常量m,n的方程的构建和求解部分学生会有困难，先独立解决，再合作探究，最后再讲解。让学生体会类比特殊值时构建方程的方法解决一般值时的问题。)

2，合作探究：

3，拓展延伸：

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六，课堂小结

引导学生小结：

1， 建立良好数学思维模式：

(1)直观判断和猜想。(合理)

(2)检验猜想。(如何验证，策略)

(3)特例的证明。(蕴涵处理问题的方法)

(4)引入一般性的研究。(得出结论)

(5)拓广。(由倍增到减半)

(6)反思。(总结获得的知识，感悟处理问题的策略和方法。积累成功与失败的经验。)

2， 综合运用所学知识，体会知识间的内在联系，形成对数学的整体认识。(二次方程，方程组，函数，相似等)

七，作业

任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?(为下一节课做准备)

八，课后反思

本节课旨在让学生综合运用学过的知识一个探究性问题，让学生体验“问题---初步猜想---验证---发现规律---证明---拓广”的数学化过程，理解并体会由特殊到一般，数形结合的数学思想和方法，深化数学知识之间的内在联系，进一步丰富学生的数学活动经验，提升学生猜想，证明，拓广等能力。在教学中，从学生熟悉的简单图形出发，引导学生步步深入解决一个个具有挑战性的问题，不断经历判断，选择及综合运用相似，方程，方程组，函数等知识的过程。在整个过程中要求学生先独立思考，遇到困难再合作探究，培养学生的归纳，综合和拓展能力，感悟处理问题的策略和方法，积累了数学活动经验，收获了成功的体验。