北师大2011课标版《＊5一元二次方程的根与系数的关系》集体备课教案设计

一、教材分析

1.一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差;教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数为根的一元二次方程的方程模型;是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

二、学情分析

1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数;或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式;

2.本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征;

3.在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

三、学习目标

1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.

2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数.

3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值.

四、学习重点

根与系数的关系及运用.

五、学习难点

定理发现及运用.

六、教学过程

一、复习导入

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=2a(b2-4ac)(b2-4ac≥0).

2.求根公式反映了一元二次方程的根与什么的关系?

二、合作探究：

(一)、探究根与系数的关系：

1.活动一：求下列一元二次方程的根，并把两根之和与两根之积填入下表。

一元二次方程x1x2x1+x2x1·x2

x2—3x+2=0

2x2-3x+1=0

3x2—2x+1=0

2. 活动二：观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么样的关系?

3、活动三：请根据以上发现进一步猜想：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根X1 , X2 与系数a,b，c,之间的关系?

4、活动四：你能证明自己的猜想吗?

设计意图：本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论(即从感性认识上升到理性认识)的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

(二)、根与系数的关系(韦达定理)的应用：

1.典例讲解：

①.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积：

②已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的另一个根是x1，由根与系数的关系，得：2x1=-5(6)，

∴x1=-5(3)，

又∵x1+2=-5(k)，

∴k=-7.

∴方程的另一个根是x1=-5(3)，k=-7.

③.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的

(1)平方和;(2)倒数和.

解：设方程的两个根分别为x1，x2，

那么x1+x2=-2(3)，x1·x2=-2(1).

(1)∵ (x1+x2)2=x1(2)+2x1·x2+x2(2)，

∴x1(2)+x2(2)=(x1+x2)2-2x1x2=(-2(3))2-2×(-2(1))=4(13);

(2)x1(1)+x2(1)=x1·x2(x1+x2)=2(1)=3.

设计意图：通过三个典型问题的探讨解决，使学生理解如何使用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)解决问题，并通过转化解决较复杂的问题，理解转化的思路、目的。

(三)拓展提高：关于两根几种常见的求值(转化的思想方法)

(四)巩固练习：

(五)当堂检测 反馈矫正

(六)小结分享

(七)布置作业

(八)课后反思　查漏补缺

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