《建立一元二次方程解决几何问题》公开课教案下载

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阅读教材P20～21“探究3”，完成下面的探究内容．

如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)

分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央矩形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 eq ﹨f(1,2) (27－9a)∶ eq ﹨f(1,2) (21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7.

设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm.

要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x)＝ eq ﹨f(3,4) ×27×21.

整理，得16x2－48x＋9＝0.

解方程，得x1＝ eq ﹨f(6＋3﹨r(3),4) (不合题意，舍去)，x2＝ eq ﹨f(6－3﹨r(3),4) .

上、下边衬的宽均为 eq ﹨f(54－27﹨r(3),4) cm，左、右边衬的宽均为 eq ﹨f(42－21﹨r(3),4) cm.

03　　新课讲授

例　(教材P20探究3变式题)如图，学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504平方米，求小道的宽．

【思路点拨】　将图中纵向的两条路全部平移到图形的左边，横向的小路平移到图形的上方，则原图可以变换成如图所示的形状，种植面积和图中阴影矩形的面积相等．设小道的宽为x，则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来．根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可．

【解答】　设小道的宽为x米，依题意，得

(32－2x)(20－x)＝504.

整理，得x2－36x＋68＝0，即(x－2)(x－34)＝0.

解得x1＝2，x2＝34(舍)．

答：小道的宽为2米．

【方法归纳】　这类问题，通常采用平移的方法，使剩余部分为一完整矩形．

【跟踪训练】　如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)

解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得

(30－4x)(20－6x)＝(1－ eq ﹨f(1,4) )×20×30.

解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去)．

故3x≈1.8，2x≈1.2.

答：横彩条宽约为1.8 cm，竖彩条宽约为1.2 cm.

04　　巩固训练