北师大2011课标版《二次函数在几何方面的应用》集体备课教案设计

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掌握用二次函数求最值来解决实际应用问题．

教学难点

将实际问题转化为数学问题是本节的难点．

一、复习

通过公式法来求出(即当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值)．

归纳：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值．

二、用二次函数解决图形面积最值

例1：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

解：设与墙垂直的一边为x m，园子面积为S m2，由题意得

S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0

∵a<0，∴当x＝5(在0

变例：如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．

解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.

(2)由题意：0<30－3x≤10，即≤x<10.对称轴为x＝＝－＝5，又当x>5时，y随x的增大而减小，

∴当x＝m时面积最大，最大面积为m2.

知识模块一　利用二次函数解决物体飞行中的最值

知识模块二　用二次函数解决图形面积最值

例2：某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元．该商品每月的销量就减少10件．

(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；

(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

解：(1)y＝(80－60＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000；

(2)y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，

∵a＝－10<0，∴当x＝5时，y有最大值，其最大值为6250，