北师大2011课标版《二次函数在几何方面的应用》集体备课教案设计

一、学生知识状况分析

在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大(小)值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础.

二、教学任务分析

教学目标

知识目标：

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

能力目标：

1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力.

2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力.

情感态度与价值观：

1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.

2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格.

3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.

2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题.

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大(小)面积问题.

三、教学过程分析

一、复习回顾

求下列二次函数的顶点坐标,并说明y随x的变化情况：

【设计意图】：引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法，以及二次函数的增减性，为本节课的学习做好准备.

二、探究应用

1、情境引入

(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.

(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大?

【设计意图】：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.

例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;

(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少?

(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .

【设计意图】：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.

2、变式探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m，

(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?

(2).设矩形的面积为ym²,当x取何值时,y的最大值是多少?

变式探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少?

变式探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,

BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G

分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?

【设计意图】：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.

例2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0

(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm²;

(2)设五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小?求出S的最小值.

【设计意图】：将动点问题引入，使学生进一步增强二次函数的应用意识，提升思维能力.

三、归纳总结

四、巩固练习

五、拓展提升

六、谈谈本节课你的收获

七、布置作业：

关于教学过程的更多环节详情请下载后观看

四、教学反思

本节课通过“理解问题—分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系—用

数学的方式表示它们之间的关系—做数学求解—检验结果的合理性并给出问题的解答”的教学流程，使学生不仅获得了书本上的知识，而且拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识.新课程给数学带来的变化是更注重学习的过程(包括思维的过程和感受的过程)，更强调对数学的体验，以及数学学习的多样化等等，其实也就是更注重学生的数学综合能力的培养.

在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则.从集体讨论——个别发言——总结归纳，符合学生的年龄特征.通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界.

通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题，在这方面要注意培养学生的准确计算能力，同时还看到学生的潜力很大，作为教师要充分发挥学生的主观能动性，为学生的发展提供足够的时间和空间.