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知识目标:
理解椭圆的定义,理解焦点在x轴与焦点在y轴的两种椭圆的标准方程.
能力目标:
通过椭圆的标准方程的推导,理解“解析法”的应用,从而学生的数学思维能力得到提高.
椭圆两种形式的标准方程.
标准方程的推导.
通过师生的共同操作实验,引入知识.椭圆的定义中要强调“常数”大于,否则画不出图形.标准方程的推导是本节教学难点之一.直接给出焦点在y轴上的椭圆的图形,图中显示出椭圆与坐标系之间的种位置关系.然后看图说话,类比介绍焦点在y轴上的椭圆的标准方程.例1是求椭圆的标准方程的训练题.求椭圆的标准方程,关键是确定焦点的位置和求出和,例1给出了焦点的位置并给出了和,方便地求出和,利用关系式求出.例2是已知椭圆的标准方程,求焦距和焦点坐标的训练题.经过例1和例2的训练,从两个不同的角度强化学生对两类椭圆的标准方程特征的认识,及关系式的掌握.
教学课件.
2课时.(90分钟)
【教学过程】
*揭示课题
2.1 椭圆.
*创设情境 兴趣导入
我们已经学习过直线与圆的方程.知道二元一次方程为直线的方程,二元二次方程为圆的方程.
下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线.
【教师行为】
介绍
播放
课件
质疑
【学生行为】
了解
观看
课件
思考
【教学意图】
引导
启发学生得出结果
*动脑思考 探索新知
先来做一个实验:
准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆:
(1)如图2-1所示,将绳子的两端固定在画板上的和两点,并使绳长大于和的距离.
(2)用铅笔尖将线绳拉紧,并保持线绳的拉紧状态,笔尖在画板上慢慢移动一周,观察所画出的图形.
从实验中可以看到,笔尖(即点M)在移动过程中,与两个定点和的距离之和始终保持不变(等于这条绳子的长度).
我们将平面内与两个定点的距离之和为常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做焦距.
【小提示】
设,不仅使得方程变得简单规整,同时在后面讨论椭圆的集合性质时,还会看到它有明确的几何意义.
等式两边同时除以得
方程(2.1)叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.它所表示的椭圆的焦点是并且
如图2-3所示,如果取过焦点的直线为y轴,线段的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为
方程(2.2)叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程.字母a、b的意义同上,并且
【想一想】
已知一个椭圆的标准方程,如何判定焦点在x轴还是在y轴?
*巩固知识 典型例题
例1 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10.求椭圆的标准方程.
解 由于2c=8,2a=10,即c=4,a=5,所以
由于椭圆的焦点在x轴上,因此椭圆的标准方程为
即
【想一想】
将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉,其余的条件不变,你能写出椭圆的标准方程吗?
例2 求下列椭圆的焦点和焦距.
(1); (2).
分析 解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上.方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母,哪项的分母大,焦点就在哪个数轴.
解 (1)因为5>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且
故
因此 c=4,2c=2.
所以,椭圆的焦点为焦距为2.
(2)将方程化成标准方程,因为16>8,所以椭圆的焦点在y轴上,并且
故 .
因此 ,
所以,椭圆的焦点为焦距为
*运用知识 强化练习
*理论升华 整体建构
*归纳小结 强化思想
*自我反思 目标检测
*继续探索 活动探究
教学过程为表格式,关于教学过程的更多环节详情请下载后观看
项目一:学生知识、技能的掌握情况
反思点:
学生是否真正理解有关知识;
是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
项目二:学生的情感态度
反思点:
学生是否参与有关活动;
在数学活动中,是否认真、积极、自信;
遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;
项目三:学生思维情况
反思点:
学生是否积极思考;
思维是否有条理、灵活;
是否能提出新的想法;
是否自觉地进行反思;
项目四:学生合作交流的情况
反思点:
学生是否善于与人合作;
在交流中,是否积极表达;
是否善于倾听别人的意见;
项目五:学生实践的情况
反思点:
学生是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;