九年级下册（2014年7月第1版）《＊7切线长定理》公开课教案下载

一、教材分析

本节课是选学内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.在利用切线长定理计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识.切线长定理的探究，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识.让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据.

二、学情分析

学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力 ，经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力.

三、教学目标

知识与技能

理解切线长定义，使学生掌握切线长定理，并能初步运用。

过程与方法

学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. 进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.

情感态度与价值观

通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功.

四、教学重点

切线长定理

五、教学难点

应用切线长定理解决问题

六、教法与学法

猜想——合作探究——归纳总结——应用提升

七、教学用具准备

PPT课件、圆规、直尺等。

八、教学过程

一、复习回顾

1.切线的判定方法：(1)定义法;(2)数量关系法;(3)判定定理法。

2.证明一条直线是圆的切线的常见的方法(两种)：

(1)“有交点、连半径，证垂直”;

(2)“无交点、作垂直，证半径”。

3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

二、探究新知

探究问题：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形?

(学生动手操做)。

由于平面上的一个已知点位置未确定，需分情况讨论：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种情况。点在圆内只能做圆的割线，点在圆上做圆的切线上节已学过，那么点在圆外又如何用尺规作圆的切线呢?请同学们看一个微课视频。

(播放微课视频)由此引出切线长的概念与切线长定理 。

(一)切线长定义

1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长

2、剖析定义：

(1)找出中心词，把定义进行缩句.(线段的长叫做切线长)

(2)定义中的“线段”具有什么特征?

① 在圆的切线上;②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.

3、切线和切线长区别

切线是到圆心距离等于圆的半径的直线,而切线长是线段,指过圆外一点做圆的切线,该点到切点的距离.

4、在图形中辨别：(1)已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示? (线段PA)

(2)已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示?(线段PA或线段PB)

(3)如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗?这样的线段最多可以有几条?为什么?

(4)既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢?我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学.

(二)切线长定理

问题1：如图3，(课件展示)是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?

问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由?由此你得到什么猜想?

问题3：如何证明你的猜想?

处理方式：

问题1学生直接判断.

问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的?如：有的学生会利用图形的对称性解释;有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.

学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)

问题3学生分组探究，写出证明过程.(小组讨论，个别展示交流.)

已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.

求证：PA=PB.

证明：连接OA,OB.

∵PA、PB分别是⊙O的切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°.

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

∵OA=OB,OP=OP.

∴ Rt△AOP≌Rt△BOP

∴ PA=PB

至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理. (课件展示)

板书切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等;这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

符号语言表达：

∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，(PA、PB分别与⊙O相切于点A、B)

∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

(反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法)

设计目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先出示探索问题的前两个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，并通过推理证明得出定理.让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.

练一练

1.如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.

(1)若AP=4,则OP= _________;

(2)若∠BPA=60 °,则OP=__________.

2.判断

(1)过任意一点总可以作圆的两条切线. ( )

(2)从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等. ( )

(三)圆的外切四边形的性质.(作为备用讲解知识，根据时间选是否讲解)

请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.

结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.

活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.

三、例题解析，运用新知.

四、课堂练习

五、课堂总结

六、布置作业

关于教学过程的更多环节详情请下载后观看

九、板书设计

3.7 切线长定理

1.切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

如图，线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.

2.切线长定理：

过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等;这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

符号语言：

∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B

∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

十、教学反思

本节课首先通过复习回顾前面学过的有关圆的切线的知识：(1)切线的判定方法;(2)证明圆的切线常见的添辅助线的方法;(3)切线的性质定理为基础，再通过探究问题：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形?由学生动手操作画圆的切线，用直尺或三角板画过圆外一点做圆的切线，这样做的是圆的切线吗?看着像，那究竟该怎么做?接着插入一个微课视频：用尺规作过圆外一点作圆的切线，引出切线长的概念及切线长定理，感性的认识需要理性的推理证明，再通过推理证明，从而归纳出切线长定理。在习题设置中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。

优点：1.课中插入微课视频，体现信息化技术的应用，较新颖。2.板书规范工整，注重对学生的引导、知识的归纳及知识的引申、定理的挖掘，数学思想方法的渗透。

不足：对切线长的概念的挖掘不够，讲解有点一带而过，使学生对概念的理解不够深刻，下次改进。