七年级下册（2012年11月第3版）《11.3不等式的性质》公开课教案下载

一、课标要求

1.不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景;

2.不等式的性质

了解不等式的性质，并会用其证明不等式;

3.基本不等式：(a,b≥0)

①探索并了解基本不等式的证明过程;

②会用基本不等式解决简单的最大(小)问题.

二、命题走向

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫.

预测高考命题趋势：

1.从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主;

2.利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。

三、要点精讲

1.不等式的性质

比较两实数大小的方法——求差比较法

定理1：若a>b，则bb.即a>b→b

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

定理2：若a>b，且b>c，则a>c。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性。

定理3：若a>b，则a+c>b+c。

说明：(1)不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向;

(2)定理3的证明相当于比较a+c与b+c的大小，采用的是求差比较法;

(3)定理3的逆命题也成立;

(4)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 (移项法则)

推论2：若a>b，且c>d，则a+c>b+d。

说明：(1)推论2的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向;(3)同向不等式：两个不等号方向相同的不等式;异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.

定理4.如果a>b且c>0，那么ac>bc;如果a>b且c<0，那么ac

推论1：如果a>b>0且c>d>0，那么ac>bd。

说明：(1)不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变;乘以同一个负数，不等号方向改变;(2)两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向;(3)推论

可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：如果a>b>0， 那么 。

推论3：如果a>b>0，那么 。

四、典例解析

例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：

(1)已知a>b，ab>0，求证：1/a>1/b;

(2)已知a>b， cb-d;

(3)已知a>b>0，0 b/d

证明：

(1)因为ab>0，所以 1/ab>0又因为a>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a 因此 1/a>1/b

(2)因为a>b，cb，-c>-d， 根据性质3的推论2，

得a+(-c)>b+(-d)，即a-c>b-d.

(3)因为01/d>0 又因为a>b>0，所以a.1/c>b.1/d

即a/c>b/d

例2. 已知a>b，不等式:(1)a2>b2;(2)1/a>1/b ;(3)1/(a-b)>1/a

成立的个数是( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

答案：A

例3.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A，B的大小关系是 。

答案：A≥B

例4.(1)如果30

(2)若-3

答案：(1)18

(2) 因为-4

例5.若-π/2 ≤a

-π/2<(a +b)/2<π/2, -π/2 ≤(a -b)/2<0

练习1已知函数f(x)= a x²-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。

解：因为f(x)= a x²-c，所以f(1)= a -c,f(2)=4 a -c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f(1)

所以f(3)=9a-c=8/3f(2)-5/3f(1)

因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,

所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3

练习2已知-4≤a-b≤-1，-1≤4a-b≤5，求9a-b的取值范围。

解：设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b，

令m+4n=9，-(m+n)=-1，解得，m=-5/3,n=8/3

所以9a-b=-5/3 (a-b)+8/3 (4a-b)

由-4≤a-b≤-1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3

由-1≤4a-b≤5，得由-1≤4a-b≤5，得 -8/3≤8/3(4a-b)≤40/3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

五、思维总结

1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证;

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。

2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法. 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.