八年级上册（2013年6月第3版）《小结与思考》集体备课教案设计

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二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。

三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。

四、教学过程

1.应用皮克定理求格点多边形的面积?

下面的方格纸中，画出了一个“小鸟”的图案，已知每个小正方形的边长为1．你能求出“小鸟”所占的面积为多少吗？

2.网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点称为格点。

如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。

(如下图中的五边形ABCDE)。

有趣的是：这种称为格点多边形的面积可以根据图形内部及它的边上的格点的数目来计算，算法十分简捷。

设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来探究S与N、L三者之间的关系。

问题的研究应该从简单的图形入手。

1．如图①②③都是N=0的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。

2．根据以上图形以及你画的图形填表：

图形序号SNL①104②206③308④3．观察图表可以发现： EMBED Equation.3 。判断一下在你画的图中这个关系式是否成立？

4．如图⑤⑥⑦都是N= 1的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。

5．根据以上图形以及你画的图形填表：

图形序号SNL⑤214⑥2.515⑦4.519⑧6．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S ？

7．如图⑨⑩ 都是N= 2的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。

8．根据以上图形以及你画的图形填表：

图形序号SNL⑨6210⑩426 324 EMBED PBrush 9．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示 S？

10．如图 、 、 都是N= 3的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。

11．根据以上图形以及你画的图形填表：

图形序号SNL 536 434 4.535 EMBED PBrush 12．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示 S？

13．综合分析与归纳：格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、它的边上的格点数L之间的数量关系式是 EMBED Equation.3 。

14．这个公式是由奥地利数学家皮克(Georg Pick)在1899年给出的，所以这个公式 EMBED Equation.3 被人称为皮克定理。这是一个实用而且有趣的定理。不过通常我们需要计算的图形 往往并不都是格点多边形。因此，在实际应用时，仍需要用割补的方法，将问题转化为面积相等的格点多边形，然后再用皮克定理进行计算。