《1.3一元二次方程的根与系数的关系》集体备课教案设计

一、教材分析

《一元二次方程根与系数的关系》位于苏科版九年级上册第一章第三节，紧承一元二次方程的概念和解法.《数学课程标准(2011年版)》表明，只需了解一元二次方程的根与系数的关系.但通过对本节内容的学习，有助于加深学生对一元二次方程及其根的认识，是进一步学习数学的基础.

二、设计理念

在教学中注重过程教学、创新意识和问题教学.关注学生的学习兴趣和学习经验，让学生主动参与学习活动，主动探索新知识.教师是教学的组织者、引导者及参与者.学生基础较好，适当提升，但不宜作过多地拓展.

三、教学目标

1.经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，让学生感受探索知识的乐趣，从而激发对数学的兴趣;

2.加深对一元二次方程及其根的认识;

3.不解方程，运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关方程根的问题.

四、教学重难点

1. 探索一元二次方程的根与系数的关系;

2. 不解方程，运用一元二次方程的根与系数的关系，解决有关一元二次方程的根的问题，进一步渗透整体求值思想.

五、教学过程

一、复习引入

一元二次方程的几种解法;

由求解方法可知，一元二次方程的根与系数之间有着密切的联系.我们可以用系数表示一元二次方程的根即求根公式;可以用b2-4ac的正负判别实数根的个数.这节课我们进一步探讨一元二次方程的根与系数的关系.

设计意图：引导学生复习相关知识，在“最近发展区”引出本节课内容，旨在激发学生的学习兴趣，明确学习目标.

二、探索新知

分组解一元二次方程x2+3x-4=0;6x2+x-2=0;2x2-3x+1=0.根据求解结果，完成下列表格：

方程x1x2x1+x2x1·x2

x2+3x-4=0

6x2+x-2=0

2x2-3x+1=0

观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么样的关系?

一元二次方程的根与系数的关系：

(师生共同)推导：

结论：一元二次方程根与系数的关系，如果方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2 = ______ x1x2= __________. 此关系又称为韦达定理.

设计意图：让学生参与知识的生成过程.由特殊到一般，引导学生归纳猜想并运用已有知识严格推证.

三、小试牛刀

1. 判断括号内的数值知否是对应方程的两根之和、两根之积：

2.已知关于x的方程x²-px+q=0的两个根是1和2，则p= ____，q=_____.

3.以2和3为根构造一个一元二次方程.

设计意图：通过对本组题目的思考，促进学生在运用中体会一元二次方程的根与系数的关系，初步理解韦达定理的内容，感受不解方程解决有关根的问题的巧妙性.题1不是简单套用定理，应引导学生及时总结出在使用根与系数的关系时，应注意：

(1)不是一般式的要先化成一般式;(2)b2-4ac≥0.

题2是为了得出定理的推论，即二次项系数是1时结论;题3，进一步体现一元二次方程的根与系数的关系与因式分解法解方程的关系.

四、典型例题

五、当堂训练

六、课堂小结

七、课后巩固

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六、板书设计

一元二次方程的根与系数的关系

1. 定理： 例1：

2使用条件：二次项系数不等于零; 变式判别式大于等于零.

3. 推论：x2-px+q=0两根为x1,x2时，x1+x2=p; x1x2=q. 例2：

4. 以x1,x2为根的一个一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

七、教学反思

本节课在学生已经掌握了一元二次方程的求解方法的基础上，进一步探讨了一元二次方程的根与系数的关系，由特殊到一般，遵循学生的认知规律.分组求解了三个一元二次方程，方程个数略少，学生找规律比较吃力，应增加2-3个一元二次方程.在推导韦达定理后没有生硬地给出定理的内涵与外延，而是通过一组小题让学生“小试牛刀”，继而在解题回顾中引导学生发现与领悟.接着，讲解了两道典型例题.例1进一步强化整体求值思想,并引导学生及时总结;例2学生先自行解答，不出所料，多数学生没有考虑韦达定理的使用前提——二次项系数不等于零且判别式非负.经点拨后，学生恍然大悟，相信会对此易错点印象深刻.至此，本节课内容已经很充实，课堂上没有时间完成当堂训练.

本节课整体设计思路应该是合理的，层层递进，注重引导，学生的课后作业反馈较好.探索新知时解方程耗时较多，应考虑让学生课前做好，或者用上节课作业中已经解过的一元二次方程为例，可以节约5-7分钟时间.

“小试牛刀”和“当堂检测”对于基础较好的学生来说，难度适中，对将来学习高中数学大有裨益.但对于少数基础薄弱的学生来说，难度过大，基本处于一知半解的状态，尚需课后消化巩固.