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《小结与思考》最新教案优质课下载
几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
例题解析
例? 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．
图1-1
【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．
①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．
②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．
在Rt△OPE中，，，所以．
此时点P的坐标为．
图1-2 图1-3 图1-4
上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．
代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．
DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．
①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．
当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．
②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．
③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．
代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．
图1-5
2、如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0, m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．
【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．
因为PC//DB，M是BC的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D(2, 4－m)．
于是我们可以罗列出△APD的三边长（的平方）：