《习题9》公开课教案下载

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【教学目标】

知识与技能：掌握利用函数思想、导数方法求有关面积、体积的最值问题。

过程与方法：以日常生活、生产实践中典型的问题为载体，探讨利用函数思想、导数方法求面积和体积问题的应用。

情感态度与价值观：学生分享将实际问题转化为数学问题的学习乐趣，感受数学与生活的密切联系。

【教学重点】

从实际问题中抽象出函数模型，用导数方法求解函数最值问题的 程序化步骤。

【教学难点】

从实际问题中抽象出函数模型，对最值、最值与极值概念的区别 与联系的 理解。

教学环节教学活动设计意图学情预设小试牛刀，知识复习问题一

求最值的常用方法有哪些？

一、代数法：

函数的单调性

基本不等式

线性规划

EMBED Equation.KSEE3 \ MERGEFORMAT

二、几何法

问题一的引入目的在于帮助学生简单回顾一些常用函数的导数公式以及如何利用导数工具求解函数单调区间、最值。问题二的目的在于帮助学生回顾求解应用题的步骤，这为后续课题的研究作铺垫。其中问题二又可进一步帮组学生回顾数学建模的本质即数学语言的相互转译。学生对于问题二如何求解应用题，学生可能存在较多遗忘。创设情境，引入问题探究一

例1 有一边长为 a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒

（1）试把方盒的容积V表示成x的函数

（2）求x多大时，做成方盒的容积V最大 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0

即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0

实际问题归结为求V(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))) 上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))) 内，因此x1是极大值点，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))) 内，x1是唯一的极值点，所以x＝ eq \f(1,6) a是V(x)的最大值点．

即当截下的小正方形边长为 eq \f(1,6) a时，容积最大．

探究二