《基本不等式及其应用》精品优质课教案设计

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理解两个不等式的结构特征及其几何解释、适用条件，能合理选择公式并正确地运用公式解决有关问题。

三、学习难点：

（1）如何利用基本不等式的模型求解函数最值。

（2）类比两个不等式的学习过程，学会研究不等式模型。

四、教学策略设计

以下是本节课的结构安排：

五、教学过程设计

1.引入重要不等式:

（1）几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

提问：你能画出赵爽的弦图吗？能用这个图形证明勾股定理吗？图中有哪些不等关系？

设计意图：

教材中重要不等式的几何背景引入，面对第24界国际数学家大会的会标，如何使学生从图案中找出一些相等或不等关系？这一探究过程会出现一个思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等和不等关系”。如果由画出赵爽的弦图到用这个图形证明勾股定理，再去找图中有哪些不等关系,分解提问，用一些小问题链突破难点，也能发现得到重要不等式的代数形式。我国古代的数学家赵爽是历史上最早用弦图证明勾股定理，根据面积相等，通过计算证明勾股定理的。弦图构图巧妙、精致，既强调逻辑推理，又注重几何直观，是数与形的完美统一。勾股定理有着“千古第一定理”之称。今天，我们用数学欣赏的眼光再次审视勾股定理，会感到别有一番风味。

（2） 重要不等式代数形式：

EMBED Equation.3 提问：重要不等式可以解决什么问题?

首先从弦图中可以看出，随着直角三角形直角边的变化四个直角三角形面积和在变大,当直角三角形变为腰直角三角形时，和面积取到了最大值。那么仅从不等式看，当2ab为定值时，a2+b2 取到最小值，当a2+b2为定值时，2ab 取到最大值。

设计意图：

借助几何画板做出直观的变化与不变的图形及数量关系，直观的反映面积变化到隐含的数值关系，发现用重要不等式可以求解最值问题。

2.讲解基本不等式:

（1）引入基本不等式：

引例 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两对三角形拼接成两个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余的部分折叠），这两个正方形的面积分别为a和b，考察图中两个直角三角形的面积和矩形面积你能发现一个不等式吗？

有：直角边长分别为 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 ,矩形面积为 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

显然，两个直角三角形面积和不小于矩形的面积

因此： EMBED Equation.DSMT4