沪教课标版《12.1曲线和方程》优质课教案设计

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二、教学重点

“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

三、教学难点

如何理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

四、教学过程

两千年多前，古希腊数学家们在研究一个问题——用平面切割圆锥，侧面产生的截线问题。我们也用几何画板试试看看。

数学家们用平面从不同的角度截圆锥，最终发现侧面的截线不爱乎有这样四种情况，封闭的曲线，圆和椭圆；与一个圆锥相交不封闭的抛物线，与两个圆锥相交的双曲线。

这几个特殊的曲线最初是来源于对“圆锥”的研究，因而当时就把它们统一的叫做——“圆锥曲线”。

实际上，当时的数学家阿波罗尼奥斯已经用让人叹为观止的几何方法得出了我们现在高中知识的绝大多数结论。

但到十六世纪，工业、物理、天文等领域对数学提出了更高的要求，比如开普勒发现行星运动的轨迹是椭圆，伽利略发现物体斜抛运动的轨迹是抛物线，科学家们需要更加简洁可靠的方法来计算更复杂的曲线问题，老办法显得无能为力。

正如笛卡尔所说，“几何分析被紧紧的绑缚在图形的研究上”， 在这样的背景下，笛卡尔受地理和天文学经纬度的启发，发明了直角坐标系，用坐标表示点，从而以代数方法研究几何问题，由此发展出几何学上一个重要的分支——解析几何，为科学乃至人类的发展做出了重要的贡献。

接下去这一章节，我们也将跟随笛卡尔的脚步，以代数方法研究几何问题的思想来学习“圆锥曲线”。

我们知道直线可以用方程这种代数形式来表示，那么是不是也可以用方程来表示曲线呢？

如果可以，那么我们也顺理成章的可以用代数方法来研究我们刚刚提到的圆锥曲线。

那么，这就是我们今天要学习的第一节内容：12.1 曲线与方程。

我们不妨先回顾一下我们刚刚学习的直线方程。

问题：写出一三象限角平分线的直线方程。

那么能不能用这样三个方程表示这条直线呢？

②③

板书：

点在直线上，但不是方程的解。

是方程的解，但点不在直线上。

点在直线上，但不是方程的解；是方程的解，但点不在直线上。

因此，为了防止“直线上的点的坐标不都是方程的解”的情况；以及“以方程的解为坐标的点不都在直线上”的情况，我们可以这样规定：

若直线与方程同时满足：