《15.5几何体的体积》优质课教案下载

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牟合方盖的构造及其计算球体积的过程。

祖暅原理中由截面面积相等到几何体体积相等的转化。

教学目标：

了解用牟合方盖的体积推导球体积的思路和祖暅原理产生的过程，体验古代数学家的创新、探索精神和精妙的构思。

经历将球体的体积转化为圆柱和圆锥体积的推导过程，掌握祖暅原理“构造”的方法，领会化归的思想方法，强化转化能力（图形形体转化、平面与空间维度转化、数形转化）和类比、联想的思维方式。

感受中国古代数学家怀疑和批判的数学理性精神、丰富的数学思想、辉煌的数学成就以及严谨的治学态度，增强学生的民族自豪感，激发学习和深入研究的兴趣和热情。

教学工具：

阅读材料

PPT课件

教学过程：

一、阅读材料,回顾历史

【师】球体积的计算是古代几何学中的一个难题。为了获得球体积的精确公式，东西方都竭尽了好几代数学

家的智慧。今天这节课首先就让我们跟随前人探索和发现的脚步去重温这段历史。中国历史上最早出现球的

体积公式是在东汉时期《九章算术》中，《九章算术》是我国第一部数学专著，其中记载（为球

的半径），这个结论是如何产生的？我们请同学说一说。

【生】（看图）古代科学家认为正方体与其内切圆柱体积之比等于正方形与其内切圆的

面积之比，比值为，同理内切圆柱与内切球体积之比，从而得到

。

【师】很好。这个公式计算结果虽然不准确，但在当时计算工具匮乏的情况下实属不易。从中我们可以发现

古人在研究体积问题时是将问题转化为平面面积来研究的。

【设计意图】提炼古人研究思路，为后面祖暅原理铺垫。

【板书】（立体 平面；体积 面积）

【师】由于《九章算术》这本书标志中国古代数学形成了完整的体系，很多著名数学家都为它做注释，其中就有魏晋时期的刘徽，刘徽在研究过程中发现球体积公式是错误的，并指出圆柱与其外切正方体体积之比是，但球与其外切圆柱体之比却不是。他写道：“若把圆柱与其内切球体积之比认为是方圆率之比，则算得的球积失之过多，但若取3为圆周率之值，又失之过少。多寡相互抵消，误差虽然减小，但终究不能相掩，球积仍嫌过大。”

【师生】看图感悟刘徽的话。

【师】刘徽发现以圆柱套球仍有两面不切合，冥思苦想后发现如要达到四面都切合，则在垂直方向再套上一个圆柱即可，此时形成一个新几何体：牟合方盖，请同学根据材料解释这个名称的由来。