选修2-2《2.3数学归纳法》优质课教案下载

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（2）过程与方法目标：在教学过程中通过设置问题情境，注重培养学生探究解决问题的能力以及提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养；让学生能领悟数学思想方法、感受数学研究的一般方法。

（3）情感、态度与价值观：通过多米诺骨牌游戏，让学生亲身感受数学好玩；课堂上共同探究问题，感受数学归纳法的实质——一种以数学归纳原理（即自然数归纳公理）为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，提升学生学习数学兴趣，达到好玩数学的目的，最后应用数学归纳法，用学生间的问难和质疑，实现知识内化吸收，达到玩好数学。

3 教学重点难点：能理解数学归纳法基本思想和实质，能用数学归纳法解决相关问题。

4 教学过程简录

4．1 创设情境，引入新课

情境一：从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横,告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……

情境二：12－1＋11=11，2 2－2＋11=13，3 2－3＋11=17，4 2－4＋11=23，5 2－5＋11=31，都是质数，于是有人用归纳推理提出猜想：任何形如n2－n＋11(n∈N)的数都是质数。

情境三：1×2= eq ﹨f(1,3) ×1×2×3， 1×2＋2×3= eq ﹨f(1,3) ×2×3×4，1×2＋2×3＋3×4= eq ﹨f(1,3) ×3×4×5，1×2＋2×3＋3×4＋4×5= eq ﹨f(1,3) ×4×5×6， ……

设计意图：创设情境一和情境二有两个目的，其一是复习归纳推理，起承上启下的作用；其二是引导学生发现问题，即由归纳推理得出的猜想不一定正确。接着给出情境三，一个由归纳推理所得猜想正确的引例，并顺势提问：如何保证所得推理结论的正确性？学生通过思考得出：一一验证的方法肯定不行，原因是步骤有无限步，至此很自然提出问题：有没有一种数学方法能通过有限步骤来解决此类无限的问题？课题的引入自然而亲切，既符合学生的原有认知，又给学生创设了一个求解未知、学习新知的欲望。

4．2 活动体验，探究原理

多米诺骨牌游戏：课堂上四人一小组，每组发20张骨牌，每组限时完成，所有骨牌倒下即为成功。

设计意图：在数学归纳法(第一课时)的教学中，大部分老师一般都采用播放多米诺骨牌游戏录像，这样虽然能满足学生的视觉感受，但是缺少了学生的动手操作与亲身体验。鉴于本课围绕着科学探究这一主题，笔者在课堂上采用做游戏的方式，因为课堂游戏不仅可以活跃课上紧张的气氛，拉近师生关系，提高学生学习数学新知的兴趣；更重要的是能让学生亲身体验多米诺骨牌游戏原理，即如果想让所有骨牌倒下，则需满足：(1)保证第一块骨牌倒下；(2)第k块骨牌倒下导致第k＋1块骨牌倒下。学生从自己亲自动手游戏中所得的感悟是别人所不能代替的，而亲身体验的过程，实质就是知识内化的过程，学生只有感受到“数学好玩”，才会“好玩数学”，最终才能“玩好数学”。

4．3 类比抽象，形成方法

应用上述原理，小组合作方式，尝试证明情境三留下的问题，即证明对于任意的n∈N ，等式1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) = eq ﹨f(1,3) ×n×(n+1)×(n+2) 成立。

设计意图：游戏体验环节结束后，学生必有所得。结合游戏体验，课堂上采用了小组合作的形式，让学生思考并讨论下列问题：类比“任给n张骨牌倒下”的条件尝试证明引入环节中的情境三遗留下的问题。通过这样的安排，让学生自己去分析问题，利用上个课堂环节中已总结得出的多米诺骨牌原理和之前学习的类比推理，解决课堂引入中的情境三，让课堂上的教学环节环环相扣，上下一体，更重要的是让学生经历一个感受、体验、领悟、深化的过程。当学生顺利解决问题后，师生一起回顾整个问题的解决过程，总结归纳问题解决的一般步骤，形成对此类题的一般方法即数学归纳法。最后，通过提问，进一步让学生感受数学归纳法中两步骤的各自作用。

4．4 例题呈现，应用方法

例1 运用数学归纳法证明：12＋22＋32＋…＋n2= eq ﹨f(1,6) ×n×(n+1)×(2n+1)对任意正整数n均成立。

设计意图：课堂上学生上台展示的过程，其实就是思维暴露的过程，可以让学生学会观察、推纳、抽象和概括。课堂上请学生上台板书，既聚焦了学生学习时碰到的难点与困惑，也聚焦了思维的矛盾。学生板书结束后，让学生评价学生，即：用学生间质疑问难代替教师的直接评判，充分尊重学生的想法，让他们有自由思考的权利和空间，从而激发更多的思维潜能，有效突出了学生学习的主体地位。

4．5 强化知识，深入理解

例2 试问对于n∈N ，2＋4＋6＋…＋2n= n2＋n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下证明，他的证明正确吗？

证明：假设当n=k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k= k2＋k＋1。那么，当n= k+1时，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1) = k2＋k＋1＋2(k＋1) = (k＋1)2＋(k＋1) ＋1，也就是说，当n= k+1时，等式成立，因此，对于任意n∈N等式都成立。

设计意图：通过学生分析纠错，强化初始步不可少，即本题必须验证n＝1时等式是否成立。

例3 设n∈N，求证：1＋32＋33＋…＋3n-1= eq ﹨f(1,2) (3n-1) 。某同学用数学归纳法给出了如下证明，他的证明正确吗？

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边＝ eq ﹨F(1,2) (31－1)＝1，所以等式成立。(2)假设n=k时等式成立，即1＋32＋33＋…＋3k-1= eq ﹨f(1,2) (3k-1) 。当n= k+1时，有1＋32＋33＋…＋3k-1＋3k= eq ﹨f(1-3k+1, 1-3) = eq ﹨f(1,2) (3k+1-1) ，也就是说，当n= k+1时，等式成立。因此，对于任意n∈N等式都成立。

设计意图：学生分析纠错：当n= k+1时，展示的解答中用的等比数列求和公式，没有用到归纳假设，强化递推过程要以归纳假设为前提。