《2.3数学归纳法》精品优质课教案设计

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高学习兴趣与课堂教学效率.

【教学重点】 数学归纳法的原理与实质

【教学难点】 对数学归纳法中递推思想的理解

【教学过程】

一、新课引入

1、讲述史例

费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，是解析几何、概率论、微积分的主要创始者，他曾经对 进行研究，他发现n=0,1,2,3,4时， 都是质数，于是他向世人公布了他的推测：“当n为非负整数时， 都是质数”.

启发：象这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法.只验证有限个特殊事例得出一般性结论的方法叫做不完全归纳法；逐个考察某类事件的所有可能情况得出一般结论的方法叫做完全归纳法.

归纳法在生活和生产实践中有着广泛的应用，如气象预测、水文预报用的就是归纳法.

引申：由完全归纳法得出的结论是可靠的，由不完全归纳法得出的结论却不一定可靠.费马以上推测经历了近一个世纪，后来瑞士著名数学家欧拉(Euler)发现当n=5时， 为合数，从而否定了费马的猜想.

2、复习回顾

设问：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列 的通项公式 ，自然数平方和公式 .这些命题都与自然数有关.

提问：自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证，那么，怎样证明一个与自然数有关的命题呢？

二、新课讲授

1、引言：

在本章引言例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论.因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事.但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？

华罗庚先生是这样解决的.他说，如果“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西也一定是红玻璃球”，那么在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了，只有第一次摸出的是红玻璃球，就可以立即作出正确的结论：“袋子里的全是红玻璃球”.

我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了.第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖.

2、定义

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：

如果（1）当 取第一个值 （例如 等）时结论正确；

（2）假设当 时结论正确，证明当 时结论也正确.

那么，命题对于从 开始的所有正整数 都成立.

注：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理（即自然数归纳公理）为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，所以它是证明有关自然数问题的有力工具.

说明：① n=1为起点，一个问题的起点未必是1，因此可记为： ；