《1.2.2巧辩学派与几何作图三大难题》公开课教案下载

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二、问题背景了解

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。

1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。

3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。

三、问题探究过程

1．化圆为方

方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。

2．立方倍积

关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。

3．三等分角

公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区，圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅区中间有一条东西方向的河流将别墅区划分两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线上，而且从北门到小桥与从北门到公主的居室距离相等。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为小公主修建一片别墅，小公主提出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、有桥、有南门、北门，国王答应了。小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并且，北门到居室和小桥的距离相等呢？这相当于求作一个角，等于已知角的三分之一。

三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。

三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示：

1化圆为方 设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?

2三等分角 将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规作出.

3倍立方 设给定的立方体的边为单位长,设边长为x的立方体的体积为2,则x满足: x3=2.即数x= EMBED Equation.3 是否能用直尺和圆规作出?

1873年,法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时,首先证明了三等分角和倍立方是不能用尺规作图解决的;接着,1882年,德国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的；1895年，德国数学家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，三大几何难题这才算彻底解决了。

四、带给我们的启示

尺规作图这是一个纯几何问题，但最终却是用代数的方法来解决的，这正是数形结合强有力的一个例子。三大问题的解决，其实质是人们对数与形及其变换的认识问题。到19世纪，数与形这两个数学的重要分支才算真正走到一起，并且密不可分起来。现代数学问题中，有很多也是像尺规作图一样，看上去是一个几何问题，但其本质却是一个代数问题，只有抓住其本质，才能拂去眼前的重重迷雾，找出解决问题的方法。三大难题的解决，也表示出当一个问题无论如何也找不到解决的方法，那我们就不必在一条死路上徘徊不定，而要大胆地探索，换个角度去思考问题，说不定就可以柳暗花明又一村。

在三大几何问题的探索过程中，有数不计数的数学家们前赴后继地为之努力，甚至为此耗费了一生的光阴。在其中，则有不同的表现。有的人坚信着问题一定会有解决的方法，他们认为只是还没有找到这个方法而已。有的人则在解决问题的过程中灵活变通，巧妙地增加了一些条件，以此来帮助解答。例如阿基米德在直尺上注明了两个点，解决了三等分角问题；柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题??还有的数学家在此基础上，探索出了一些新的数学问题与理论，例如柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线；在求解三等分任意角的过程中，希腊数学家相继发展了高等几何。其中有尼科梅德斯的蚌线，希皮亚斯的割圆曲线，还有阿基米德的螺线等等，这些曲线都是从运动的观点来加以认识的。其中割圆曲线发明最早，影响也最大。更全面、更深刻地了解数学，总结经验教训，探索发展规律，这是我们学习数学史的目的，也能帮助我们更好地研究数学。

这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。