选修4-2矩阵与变换《2.5特征值与特征向量》优质课教案设计

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三、设计思想

本节课以实际问题为载体，以学生为主体，以合作学习为手段，以问题解决为目的，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从特殊到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标

1．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；

2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；

五、教学重点和难点

重点：会求二阶矩阵的特征值与特征向量

难点：从几何变换的角度说明特征向量的意义

六、教学过程设计

（一）问题情景：

1、根据下列条件试判断M 是否与 共线：

= 1 ﹨ GB3 ① M= ，非零向量 =

= 2 ﹨ GB3 ② M= ，非零向量 =

= 3 ﹨ GB3 ③ M＝ ，非零向量α＝ ，

【设计意图】问题情景使学生初步感到特征值的概念，学会从特殊到一般的数学方法。

【设计意图】让学生从几何变换角度感受特征向量的概念

（二）归纳定义：

特征值：设矩阵A＝ ，如果对于实数?，存在一个非零向量?，使得A?= ??，则称?是矩阵A的一个特征值；

特征向量：?是矩阵A的属于特征值?的一个特征向量；

特征多项式：设矩阵A＝ ，我们把行列式

称为A的特征多项式。

（三）数学运用：

例1、求出矩阵A ( 的特征值 和特征向量

【小结1】如果a是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量；

属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线。