选修4-2矩阵与变换《2.5特征值与特征向量》新课标优质课教案设计

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学习过程：

一、引入

已知矩阵A= ，

(1)求A ，A ；(2)A 与 ，A 与 有何关系？

二、建构数学

1、 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得 ，那么 称为A的一个特征值，而 称为A的属于特征值 的一个特征向量。

注：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后保持一在一条直线上， 为特征值，若特征向量的方向不变，则 ＞0，若方向相反，则 ＜0，若 =0，则特征向量就变换成了 向量；

2、 设 是二阶矩阵A= 的一个特征值，它的特征向量为 = ，

则A = ，即 由定义可知方程组有不全为0的解，

必有 =0，我们把行列式 = 称为A的特征多项式。那么 是 0的解。

注：如果向量 是属于 的特征向量， ，且t≠0，则t 也是属于 的一个特征向量，一个特征值对应多个特征向量。

二、教学应用

例1. 求矩阵A= 的特征值和特征向量。

练习：求出下列矩阵的特征值和特征向量

(1)A= （2）B=

例2：已知M的特征值 1 =8，对应的一个特征向量 1 = , 2 =2对应

的一个 特征向量为 2 = ， 求M与M4 2

例3：(2015江苏高考题21B）

已知 x,y属于R，向量a= 是矩阵 A= 的属于特征值 -2

的一个特征向量， 求矩阵A 以及它的另一个特征值.

变： 设矩阵 M= 的一个特征值为2 ，若曲线C在矩阵M 变换下的

方程为:x2+y2=1 ，求曲线C 的方程．

三、课堂小结