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选修4-2矩阵与变换《2.5特征值与特征向量》新课标教案优质课下载
⑴M= ，非零向量 =
⑵ M= ，非零向量 =
⑶M＝ ，非零向量?＝ ，
解：⑴ M = = =3 ，所以M 与 共线。
⑵ M = = ，而 与 不共线。 即此时M 与 不共线。
⑶M 与 共线。
二、特征向量与特征值
设二阶矩阵A ，对于实数?，存在一个非零向量?，使得A?＝??，那么?称为A的一个特征值，而?称为A的属于特征值?的一个特征向量。
几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。?＞0方向不变；?＜0方向相反；?＝0，特征向量就被变换成零向量。
代数方法：特征多项式
例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。
例3 求矩阵M= 的特征值和特征向量：
解：矩阵M的特征值 满足方程 =( +1)( -3)-(- )(-2)= 2-2 -8=0
解得，矩阵M的两个特征值 1=4， 2=-2
⑴设属于特征值 1=4的特征向量为 ，则它满足方程：( 1+1)x+(-2)y=0
即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取 为属于特征值 1=4的一个特征向量。
⑵设属于特征值 1=-2的特征向量为 ，则它满足方程：( 2+1)x+(-2)y=0
即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取 为属于特征值 2=-2的一个特征向量。
综上所述：M= 有两个特征值 1=4， 2=-2，
属于 1=4的一个特征向量为 ，属于 2=-2的一个特征向量为 。
例3 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3
解：由上题可知 1 = , 2 = 是矩阵M= 分别对应特征值 1=4， 2=-2的两个特征向量，而 1与 2不共线。又 = =3 + =3 1+ 2
∴M3 = M3(3 1+ 2)=3 M3 1+ M3 2 =3 13 1+ 23 2=3×43 +(-2)3×
=192× -8× = =
例4 已知M＝ ，?＝ ，试计算M50?