《4.4.1参数方程的意义》精品优质课教案设计

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由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线 上两点A、B所对应的参数分别为

，则

性质一：A、B两点之间的距离为 ，特别地，A、B两点到 的距离分别为

性质二：A、B两点的中点所对应的参数为 ，若 是线段AB的中点，则

，反之亦然。

精编例题讲练

一、求直线上点的坐标

例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是?3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。

分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨al(x = x0 +at，,y = y0 +bt)) (t是参数)。

解：由题意知则直线PQ的方程是 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨al(x = 1 ? 3 t，,y = 2 + 4 t )) ，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（?8，12）。

例2．求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A' 的坐标。

解：由条件，设直线AA' 的参数方程为 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨al(x = ?1 ? eq ﹨f(2, eq ﹨r(13) ) t ，,y = ?2 + eq ﹨f(3, eq ﹨r(13) ) t)) (t是参数)，

∵A到直线l的距离d = eq ﹨f(5, eq ﹨r(13) ) ， ∴ t = AA' = eq ﹨f(10, eq ﹨r(13) ) ，

代入直线的参数方程得A' (? eq ﹨f(33,13) ， eq ﹨f(4,13) )。

点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。

二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离

例1.设直线 经过点 (1,5),倾斜角为 ,

1)求直线 和直线 的交点到点 的距离;

2)求直线 和圆 的两个交点到点 的距离的和与积.

解:直线 的参数方程为 ( t为参数)

1)将直线 的参数方程中的x,y代入 ,得t= .所以,直线 和直线 的交点到点 的距离为

2)将直线 的方程中的x,y代入 ,得 设此方程的两根为 ,则 = =10.可知 均为负值,所以 =

点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

三 求直线与曲线相交的弦长

例1 过抛物线 的焦点作斜角为 的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.