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【知识归纳】

函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；

3．函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。

4．函数方程思想的几种重要形式

（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；

（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；

（4）函数f(x)＝ EMBED Equation.3 （n∈N）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；

（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；

（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

【考点例析】

函数思想在方程中应用

1[2015·山东卷改编] 设函数f(x)＝ eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.)) 若f eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(f﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,6))))) ＝4，则b＝________．测试要点：考查函数与方程思想

[解析] 由已知得f eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,6))) ＝3× eq ﹨f(5,6) －b＝ eq ﹨f(5,2) －b，由f eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(f﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,6))))) ＝4得 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,2)－b<1，,3﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,2)－b))－b＝4)) 或 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(5,2)－b≥1，,2﹨f(5,2)－b＝4，)) 解得b＝ eq ﹨f(7,8) (舍去)或b＝ eq ﹨f(1,2) .

2．[2015·山东卷] 若“?x∈ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,4))) ，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．测试要点：考查函数与方程思想

[解析] ∵y＝tan x在区间 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,4))) 上单调递增，∴y＝tan x eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x∈﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,4))))) 的最大值为tan eq ﹨f(π,4) ＝1.

又∵“?x∈ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,4))) ，tan x≤m”是真命题，∴m≥1.

3．[2016·北京卷改编] 已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为________．测试要点：考查数形结合思想

[解析] 设z＝2x－y，则y＝2x－z.易知当y＝2x－z的图像过点B时，z取得最大值，即最大值为7.

4．[2016·浙江卷] 设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________．测试要点：考查函数与方程思想

[解析] f(x)－f(a)＝x3－a3＋3(x2－a2)＝(x－a)[x2＋ax＋a2＋3(x＋a)]＝(x－a)[x2＋(a＋3)x＋a2＋3a]＝(x－a)(x－a)·(x－b)，则x2＋(a＋3)x＋a2＋3a＝x2－(a＋b)x＋ab，得到 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(a＋3＝－（a＋b），,a2＋3a＝ab，)) 解得 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(a＝－2，,b＝1.))