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《课题学习确定线段n等分点的算法》精品教案优质课下载
一、问题的发现
利用尺规作图确定线段AB的n等分点,可以按照下面的步骤来完成（以n=7为例）。
如图1所示,从A点出发作一条与AB不重合的射线AP，先在AP上任取固定长度 EMBED Equation.DSMT4 ,作为一个单位（标尺），再通过这个单位依次作出等长的线段 EMBED Equation.DSMT4 ,连接 EMBED Equation.DSMT4 ，过点 EMBED Equation.DSMT4 作 EMBED Equation.DSMT4 的平行线,交AB于点M，从而点M就是线段AB的一个7等分点。
图 1 图 2
按照上面的作法，要确定线段AB的一个n等分点，需要在射线AP上取n个点。能不能将上面的作法简化呢？
如图2所示，我们在选取固定长度 EMBED Equation.DSMT4 作为一个单位后，可以根据它作出等长线段 EMBED Equation.DSMT4 ，这样我们就得到2个单位长的线段 EMBED Equation.DSMT4 了，从而可以根据 EMBED Equation.DSMT4 作出等长线段 EMBED Equation.DSMT4 ，这样我们又得到3个单位长的线段 EMBED Equation.DSMT4 了，从而可以根据 EMBED Equation.DSMT4 作出等长线段 EMBED Equation.DSMT4 ，下面我们就可以连接 EMBED Equation.DSMT4 ,过点 EMBED Equation.DSMT4 作 EMBED Equation.DSMT4 的平行线,交AB于点M，则点M就是线段AB的一个7等分点。
这样,只要在射线AP上作出 EMBED Equation.DSMT4 这4个点就足够了。
普通高中课程标准试验教科书数学必修3在第二章的“课题学习”(以下称文 = 1 ﹨ GB3 ① )中给出了下面的定论：
如果我们将十进制的数n用二进制表示：
EMBED Equation.DSMT4
其中 EMBED Equation.DSMT4 为0或1,令 EMBED Equation.DSMT4
可以验证,若要确定n等分点,只要在射线AP上作m个点就足够了.
事实上,验证发现上述结论并不是最优的.比如,当n=7时,文 = 1 ﹨ GB3 ① 认为需要在射线AP上作出5个点,而我们在上面已经找到了只需要作出4个点的方法。
二、规律的发现
通过大量的尝试和验证，我们得到下面的作法，如表1，
EMBED Equation.DSMT4 ?
表1
nf (n)需要在射线上依次作的点22A1，A233A1，A2，A343A1，A2，A454A1，A2，A3，A564A1，A2，A3，A674A1，A2，A4，A784A1，A2，A4，A895A1，A2，A3，A5，A9105A1，A2，A3，A5，A10115A1，A2，A3，A6，A11125A1，A2，A3，A6，A12135A1，A2，A4，A7，A13145A1，A2，A4，A7，A14155A1，A2，A4，A8，A15165A1，A2，A4，A8，A16从表1中可以发现下面的规律：
（ = 1 ﹨ ROMAN I ）数据上的规律
当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 .
（ = 2 ﹨ ROMAN II ）操作上的规律
当n=7时,只要在射线AP上作出 EMBED Equation.DSMT4 这4个点就足够了,所以
当n=14时,根据已有的7个单位长的线段 EMBED Equation.DSMT4 作出等长线段 EMBED Equation.DSMT4 就可以了，如图3;
当n=13时,根据已有的6个单位长的线段 EMBED Equation.DSMT4 作出等长线段 EMBED Equation.DSMT4 就可以了，如图4。
图3 图4