北师大2003课标版《2.1两角差的余弦函数》集体备课教案设计

北师大2003课标版《2.1两角差的余弦函数》集体备课教案优质课下载

三维目标

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,并推演出两角和的余弦公式，了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.

2.通过两角和与差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.

重点难点

教学重点:探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角和与差的余弦公式进行简单的化简、求值等.

教学难点:两角差的余弦公式的探索与证明.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

(问题导入)我们在初中时就知道cos45°=,cos30°=,由此我们猜想:能否得到cos15°=呢？如果不成立，那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β)=?这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,我们利用刚刚学过的重要工具——向量来研究这个问题。

推进新课

新知探究

提出问题

①让学生猜想cos(α-β)=?你认为cos(α-β)=cosα-cosβ对吗？举例验证.

②回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是α-β吗？

④得到cos(α-β)公式后,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？

④如何得到cos(α+β)公式

⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角和与差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？

提出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要让学生充分发挥想象能力,自主探究.学生很容易想到cos(α-β)=cosα-cosβ？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:α=60°、β=30°,则cos(α-β)=cos30°=,而cosα-cosβ=,这一反例足以说明了cos(α-β)≠cosα-cosβ(当然它也不是对任意角α、β都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备.

在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角函数关系提供了一种非常重要的思想方法.

图1

在直角坐标系中(如图1).以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,又以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α、β,且α>β.我们首先研究α、β均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),即=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠P1OP2= α-β,这样,我们就得到两个单位向量,由于这两个向量的夹角为α-β,所以我们可以得到:

·=||||cos(α-β)=cos(α-β).①