必修4《7.1点到直线的距离公式》优质课教案设计

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3.会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实际问题.

教学重点和难点：

重点：体会向量在解决平面几何问题中的应用。

难点：用向量表示几何关系。

教学过程：

情境引入：

教师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何解析几何的很多问题，如平移、全等、相似、长度、夹角等。都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

下面我们将通过两个例子，来体会向量在解决几何问题中的作用。

点到直线的距离问题

例1、若点M(x0, y0)是平面上的一点，求证：点M到直线l:Ax+By+C=0的距离d为

教师提问:如何来证明这个结论呢?在必修2的学习中,我们知道求点到直线距离的一般步骤是:先过点M作1的垂线MH,垂足为H,再求MH的长度,这就得到了点M到直线{的距离,那么,是否能够用向量实现这些步骤呢？

学生讨论,教师根据学生讨论的情况,进行点评

教师:怎样找到垂线MH?

(1)MH作为向量,它应当与直线1垂直。我们把与直线垂直的向量n叫作直的法向量

(2)可以考虑利用在直线l上任取一点P,计算向量PM,求P在向量n方向上的射影,就得到了点M到直线l的距离,这个过程可以用向量的数量积实现

证明:如图,点M(x,y)是直线1外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).(直线的法向量:与直线的方向量垂直的向量.)

设n=(a,b),因为nv=(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0

所以,故n是直线l的法向量

由前面射影的知识得:d等于向量PM在法向量n方向上射影的长度

即(为向量PM与法向量n的夹角）

与n同向的单位向量：，

再由向量的数量积的定义得:

又因为P(x,y)是直线1上的任意一点,所以

故

设计意图:本例题是让学生体会用向量求距离的一般方法,这种方法将在后续求其他元