《弧度制》集体备课教案设计

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三维目标

1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.

2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.

重点难点

教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.

教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.

课时安排

1课时

教学过程

（一）温故知新

在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的 EMBED Equations 规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．

（二）、探究新知

1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。

在图1（课件）中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝ EMBED Equations r，那么∠AOC的弧度数就是 EMBED Equations rad；圆心角∠AOE所对的弧长为l，那么∠AOE的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．

2．弧度制的定义： 一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是o；角α的弧度数的绝对值|α|＝ EMBED Equations ，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：

(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝ EMBED Equations r，l1＝ EMBED Equations r1，所以 EMBED Equations ＝ EMBED Equations ＝ EMBED Equations ，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．

3．角度制与弧度制的换算．

现在我们知道：1个周角＝360°＝ EMBED Equations r，所以，(板书)360°＝2πrad，由此可以得到

180°＝πrad，1°＝ EMBED Equations ≈0．01745rad，1rad＝（ EMBED Equations ）°≈57.30°＝57°18’。

说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．

今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin EMBED Equations 就表示 EMBED Equations rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝ EMBED Equations rad ，不必写成45°＝0．785弧度．

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．

角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。