北师大2003课标版《从力做的功到向量的数量积》集体备课教案设计

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两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．

重点难点：

1、向量的数量积的概念及其性质

2、如何计算两个向量的数量积及其运用

教学过程：

1.通过实例，理解平面向量数量积的含义及其几何意义、物理意义

(1)两平面向量 和 的夹角： ， 是两非零向量，过点O作 = 、 = ，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量 和 的夹角，很显然，当且仅当两非零向量 、 同方向时θ=0°；当且仅 ， 反方向时，θ=180°，当θ=90°，称 与 垂直，记作 ⊥ .

(2)两平面向是 和 的数量积： 、 是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜ ｜·｜ ｜cosθ叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作 · ，即 · =｜ ｜·｜ ｜·cosθ.因此当 ⊥ 时，θ=90°,cosθ=0，这时 · =0

特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.

综上所述， · =0是 ⊥ 或 ， 中至少一个为 的充要条件

两向量 与 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 ≠ ， ≠ ，0°≤θ＜90°时 ，也可以为负(当 ≠ ， ≠ ，90°＜θ≤180°时 ，还可以为0(当 = 或 = 或θ=90°时).

(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量 与 的夹角，则｜ ｜cosθ，称为向量 在 的方向上的投影：而｜ ｜cosθ,称为向量 在 的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜ ｜；而当θ=180°时，它等于-｜ ｜.

我们可以将向量 与 的数量积看成是向量 的模｜ ｜与｜ ｜在 的方向上投影｜ ｜cosθ的乘积.

2.向量数量积的性质：

设 、 是两非零向量， 是单位向量，θ是 与 的夹角，于是我们有下列数量积的性质：

(1)? · = · =｜ ｜cosθ

(2)? ⊥ · =0(3)? 、 同向 · =｜ ｜·｜ ｜;? , 反向 · =-｜ ｜｜ ｜;特别地 · = 2=｜ ｜2或｜ ｜= .

(4)cosθ= ?(θ为 ， 的夹角)

(5)｜ · ｜≤｜ ｜·｜ ｜

3.平面向量的数量积的运算律

(1)交换律：

(2)数乘向量与数量积的结合律：