北师大2003课标版《3.1基本不等式》优质课教案设计

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学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式，这些都为学习本节内容奠定了基础。

尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但是对于利用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景的学习学生还是有一些困难，一时很难接受。本节课让学生困惑的是在什么情况下可以用基本不等式，在使用基本不等式时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。因此，在教学过程中，要让学生领会到遇到两数的和化为求它们的乘积，或乘积化为求和（尤其是这两数有倒数关系）时，首先考虑用基本不等式。于此同时，借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。

【教学目标】

知识与能力：通过探究几何图形，引导学生从图形中获得基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，会用基本不等式解决简单的最值问题；

过程与方法：让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，提高抽象概括能力和逻辑推理能力，体会数形结合的数学思想；

情感态度价值观：通过运用基本不等式解决简单的最值问题，加深学生对基本不等式的理解，感受数学的对称性与完整性；

【教学重点和难点】

重点：从不同角度探索不等式 的证明过程，掌握使用基本不等式前提条件，并求出函数最值

难点：掌握使用基本不等式前提条件，并求出函数最值

【教学设计流程图】

【教学过程】

（一）创设情境，几何引入

如图是2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的。

思考：在图中含有怎样的几何图形？在这张“弦图”中能找出 一些相等关系和不等关系吗？

学情预设：在正方形 中有4个全等的直角三角形。设直角三角形两条直角边长为 ，

那么正方形的边长为 。于是，4个直角三角形的面积之和 ，正方形的面积 。

由图可知 ，即 。

思考：那么 和 有相等的情况吗？

学情预设：当4个直角三角形为等腰直角三角形时，

学生探讨等号取到情况，教师演示图形，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式。根据上述几何背景，初步形成不等式结论：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。

设计意图：请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义

思考：如果 ，我们用 分别代替 会得到什么结论？

学情预设：

得出基本不等式，板书课题内容。

设计意图：介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育，并体会相对关系与不等关系的辩证统一，同时让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫。在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想。