必修5《3.1基本不等式》优质课教案下载

必修5《3.1基本不等式》优质课教案下载

国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.

有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

二、讲授新课：

探究一: 探究基本不等式

①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。（教师提问 学生思考 师生总结）

②思考：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？你能给出证明吗？

【提升总结】

一般地，对于任意实数a，b，我们有

③思考：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用 分别代替a、b ，可得什么不等式?

或 (当且仅当a=b时，等号成立。)

④思考：不等式 沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？

用分析法证明：要证 (1)，

只要证 a+b (2)， 要证（2），

只要证 a+b- 0（3）要证（3），

只要证（ - ） ≥0（4），

显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

= 5 ﹨ GB3 ⑤ 【提升总结】

基本不等式：

注意: （1）a,b均为正数；

（2）当且仅当a=b时取等号.

其中 叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数.