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解三角形·T16[真题自检]

1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝ eq ﹨f(3,4) ，则cos2 α＋2sin 2α＝(　　)

A. eq ﹨f(64,25) 　　　　　　　　B. eq ﹨f(48,25)

C．1 D. eq ﹨f(16,25)

解析：利用同角三角函数的基本关系式求解．

因为tan α＝ eq ﹨f(3,4) ，则cos2 α＋2sin 2α＝ eq ﹨f(cos2 α＋4sin αcos α,sin2 α＋cos2 α) ＝ eq ﹨f(1＋4tan α,tan2 α＋1) ＝

eq ﹨f(1＋4×﹨f(3,4),﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(3,4)))2＋1) ＝ eq ﹨f(64,25) .故选A.

答案：A

2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))) ＝ eq ﹨f(3,5) ，则tan eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ－﹨f(π,4))) ＝________.

解析：将θ－ eq ﹨f(π,4) 转化为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))) － eq ﹨f(π,2) .

由题意知sin eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))) ＝ eq ﹨f(3,5) ，θ是第四象限角，所以cos eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))) >0，所以cos eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))) ＝ eq ﹨r(1－sin2﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4)))) ＝ eq ﹨f(4,5) .

tan eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ－﹨f(π,4))) ＝tan eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4)－﹨f(π,2))) ＝－ eq ﹨f(1,tan﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))))

＝－ eq ﹨f(cos﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4))),sin﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ＋﹨f(π,4)))) ＝－ eq ﹨f(﹨f(4,5),﹨f(3,5)) ＝－ eq ﹨f(4,3) .

答案：－ eq ﹨f(4,3)

3．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝ eq ﹨f(4,5) ，cos C＝ eq ﹨f(5,13) ，a＝1，则b＝________.

解析：先求出sin A，sin C的值，进而求出sin B的值，再利用正弦定理求b的值．

因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝ eq ﹨f(4,5) ，cos C＝ eq ﹨f(5,13) ，

所以sin A＝ eq ﹨f(3,5) ，sin C＝ eq ﹨f(12,13) ，

所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ eq ﹨f(3,5) × eq ﹨f(5,13) ＋ eq ﹨f(4,5) × eq ﹨f(12,13) ＝ eq ﹨f(63,65) .

又a＝1，所以由正弦定理得b＝ eq ﹨f(asin B,sin A) ＝ eq ﹨f(sin B,sin A) ＝ eq ﹨f(63,65) × eq ﹨f(5,3) ＝ eq ﹨f(21,13) .

答案： eq ﹨f(21,13)

4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

解析：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF＜AB＜BE.在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，

∴BF＝ eq ﹨r(22＋22－2×2×2cos 30°) ＝ eq ﹨r(6) － eq ﹨r(2) .

在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2， eq ﹨f(BE,sin 75°) ＝ eq ﹨f(2,sin 30°) ，