必修5《1.2余弦定理》精品优质课教案设计

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1．通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．了解余弦定理与勾股定理之间的联系．知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法．

2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．

3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．

三、重点难点　　　　　

教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形．

教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形．

四、教学过程

1.导入新课　　　　　

思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．

图1

思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？

2.

①在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？

②余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？

③余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？

④正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？

活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．

解决了在三角形已知两角一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题．当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决．如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．

如图1，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试利用b，c，A来表示a.

教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CD⊥AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD，DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边的关系表示，DB可利用AB－AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：

过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，可得

a2＝CD2＋BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，

又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2，

∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD.