《1.2余弦定理》优质课教案下载

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二、 教学重难点

重点: 探究和证明余弦定理的过程；理解和掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点: 理解勾股定理和余弦定理之间的特殊关系，并证明余弦定理；对余弦定理的应用。

三、 教学过程

（一）情境引入

钓鱼岛，亦称钓鱼台，是中国东海钓鱼岛及其附属岛屿的主岛，是我国固有领土，2012年9月10日央视新闻报道，中国有关部门将对钓鱼岛及其附属岛屿展开常态化监视监测。据悉，一艘舰艇在图（1）中B处前往钓鱼岛巡航检测，已知 BC、AC距离分别为30和40km，求AB距离。

在行驶一段时间后，舰艇到达如图（2）位置，已知BC、AC距离分别为20和40km，C=120°，求AB距离。

【设计意图】通过钓鱼岛的背景介绍情境引入，由舰艇的航行探索在直角三角形和钝角三角形中已知两边及夹角求第三边的问题，继而发现问题。

（二）化归问题

上述问题可抽象概括为在三角形中已知两边及夹角求第三边，如下图所示：

在直角三角形中，已知边a，b和直角C，你如何求出边c？

我们由特殊到一般，在钝角和锐角三角形中，已知边a，b和夹角C，如何求边c？根据三角形三边关系，并类比勾股定理，你能得出有关边c的哪些结论？

【设计意图】教师提问引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般猜想出余弦定理的大致形式，培养学生的创新意识和观察与思维能力。

（三）分析问题

根据猜想 ，思考以下几个问题：

思考1：结合解三角形的知识以及m的范围，你能猜想到m可能是什么？

思考2：由直角三角形的勾股定理，你能猜想到m是哪种三角函数值？

思考3：最终的猜想是什么？该如何证明？

【设计意图】通过几个思考题引导学生明确猜想中m的形式，即夹角余弦值，猜想出余弦定理的形式，锻炼学生对知识的灵活应用能力，也为定理的证明埋下铺垫。

（四）证明猜想

观察公式 ，既有边又有角，你能想到哪些方法证明公式？

根据大家的思路，公式的证明主要有两种方法，“几何法”和“向量法”，接下来我们一起看看向量法证明公式。

如图在三角形ABC中