必修5《1.2余弦定理》新课标优质课教案设计

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二、教学重难点

重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。

探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股定理的知识，即当∠C=900时，有c2=a2+b2。作为一般的情况，当∠C≠900时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。

三、学情分析和教学内容分析

本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。

在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

四、教学过程

环节一 【创设情境】

1、复习引入

让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。

2、情景引入

如图是浙江千岛湖风景区，景区管理处为了方便游客观光，要在途中A、B处修建一座浮桥（A、B两点不能直接到达），请选择合适的工具，帮助景区管理处设计出一个方案，测量出A、B两点间的距离。

学生不难将这个实际问题转化到数学问题：

已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能使用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。

环节二 【导入新课】

问题：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a=30m，b=40m，∠C=120°，c会等于多少呢？请同学们思考。

教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演示结果。

经过议论学生得到三种方法计算c边：几何法，向量法，坐标法。

环节三 【新课探究】

探究1、接下来，我将问题一般化，若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b及∠C，求AB边长c.请同学们继续探究。

教师引导学生分组合作学习，可让几个小组的学生研究当∠C为锐角时的结论，另外的小组研究当∠C为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。

如图4，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；